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シャンのいろいろ2

リニューアルしました

解析学

サクッと見直すRiemann積分とLebesgue積分のつながり

前回があまりにもクソみたいな話だったので, 今回は少しは実用的な話をしようと思います. 解析学が得意なフレンズはよく使っていらっしゃるでしょうLebesgue積分なのですが, ふとしたときにRiemann積分を思い出すときもありますよね?もちろんRiemann積分の…

より一般のミンコフスキーの不等式(Minkowski inequality integral form)

前回の記事をもって一段落したので, 時期も時期なので新入生向けのゆるーい記事でも書こうかと思ったのですが, 今日あった関数解析の講義でふと思い出したのでより一般のMinkowskiの不等式について書いておこうと思います. 日本語での記事があまり見受けられ…

ようやく示す変分法の基本原理

また間が空いてしまいましたが, 散々引っ張ってきた定理の証明をやっていきましょう. Theorem3(変分法の基本原理) を開集合, とする. このとき が任意の に対して \begin{eqnarray}\int_\Omega f(x)\varphi(x)\ dx = 0\end{eqnarray} が成り立つならば, であ…

局所可積分性について少しだけ

ちょっと久しぶりの更新になります. 前回の記事で「次こそ変分法の基本原理を示す」といったのですが, その一歩手前として表題にもある通り局所可積分性について少し言及をしておこうと思います. Definition (局所可積分) を開集合とする. 上の可測関数 が に…

mollifierでモリモリ(3 性質2)

こんにちは. 今回も引き続きmollifierの性質を書いていきますよ~性質についてはこの記事で最後になります! Theorem2 をmollifierとし, とする. このとき, \begin{eqnarray}||\rho_\varepsilon \ast f - f||_{L^p(\mathbb{R}^N)} \to 0\ \ (\text{as}\ \var…

mollifierでモリモリ(2 性質その1)

前回の記事に引き続きmollifierについて扱っていきます. 今回は重要な性質をまとめます. まずは性質のうち, 微分可能性について挙げます. Theorem1 をmollifierとし, とする. このとき, 各 を固定したとき, と の畳み込み \begin{eqnarray} ( \rho_\varepsil…

mollifierでモリモリ(1 定義)

以前のブログがごちゃごちゃしていたけど新しい内容が書きたくなったのでこの度ブログをリニューアルしました. その記念じゃないけどはてなブログで数式を書く練習がてらにかねてからまとめたかったFriedrichsのmollifierについて書いておきます. 早速なんで…