mollifierでモリモリ(2 性質その1)
前回の記事に引き続きmollifierについて扱っていきます. 今回は重要な性質をまとめます.
まずは性質のうち, 微分可能性について挙げます.
Theorem1
をmollifierとし, とする. このとき, 各 を固定したとき, と の畳み込み
\begin{eqnarray}
( \rho_\varepsilon \ast f)(x) := \int_{\mathbb{R}^N} \rho_\varepsilon(x-y)f(y)\ dy
\end{eqnarray}は 上の 級関数で, に対して となる.
mollifierは日本語ではしばしば軟化子とか呼ばれたりしますが名前の通りの良い性質ですね. 畳み込みが滑らかな近似になってくれるんですねえ.
一応証明を載せておきます.
Proof.
なる を取る. このときHölderの不等式から
\begin{eqnarray}
|(\rho_\varepsilon \ast f)(x)| &\le& \int_{\mathbb{R}^N} |\rho_\varepsilon(x-y)||f(y)|\ dy \\
&\le& ||f||_p\left( \int_{\mathbb{R}^N}|\rho_\varepsilon(x-y)|^q dy \right)^\frac{1}{q} .
\end{eqnarray}
右辺の積分は各 に対して有限の値を取ることから は有限の値を取る.
連続性については, , として
\begin{eqnarray}
\left|(\rho_\varepsilon \ast f)(x) - (\rho_\varepsilon \ast f)(x') \right| &=& \left| \int_{\mathbb{R}^N} \rho_\varepsilon(y)\{\check{f}(y-x) - \check{f}(y-x') \} \ dy\ \right| \\
&\le& ||\rho_\varepsilon||_q || T_x\check{f} - T_{x'}\check{f}||_p
\end{eqnarray}
となるから, Lebesgue積分の不変性を用いることでわかる.
次に の微分可能性を見る. 各 に対して を第 成分方向単位ベクトルとし, とする. このとき,
\begin{eqnarray}
\frac{1}{t} \{ (\rho_\varepsilon \ast f)(x + te_i) - (\rho_\varepsilon \ast f)(x) \} = \int_{\mathbb{R}^N} \frac{\rho_\varepsilon(x+te_i-y) - \rho_\varepsilon(x-y)}{t}f(y)\ dy .\tag{#}
\end{eqnarray}
ここで, 各, について, の範囲ではmollifierの定義から なる任意の に対して である. これより (#) の右辺の積分範囲は としてよい.
また, 平均値の定理から
\begin{eqnarray}
\left| \frac{\rho_\varepsilon(x+te_i -y) - \rho_\varepsilon(x-y)}{t} \right| \le \max \left\{ \left| \frac{\partial\rho_\varepsilon}{\partial x_i}(z) \right| ; |z-x| \le 1+\varepsilon \right\}.
\end{eqnarray}
であるから, 導関数の定義とLebesgueの優収束定理を用いれば,
\begin{eqnarray}
\lim_{t \to 0}\frac{1}{t}\{(\rho_\varepsilon \ast f)(x +te_i)- (\rho_\varepsilon \ast f)(x) \} &=& \int_{\mathbb{R}^N} \frac{\partial \rho_\varepsilon}{\partial x_i}(x-y)f(y)\ dy \\
&=& ((\partial_i \rho_\varepsilon) \ast f)(x).
\end{eqnarray}
ここで, もまた 級であり, であるから, 上の議論を繰り返すことができて, それより は 級であり, がわかる. □
不変性など, Lebesgue積分特有の性質を使って証明してるのは味わい深いです. 微分可能性については積分論の本などで積分記号下での微分について読んだことがある方ならもう少し簡略化できるかと思います. あとは畳み込みについても詳細な説明は省いていますが, ここではきちんと有限の値として存在していることを冒頭で示しているので許してください.
少しずつだけどはてなブログで数式を書くのにも慣れてきました. 次回はmollifierとの畳み込みが の関数を近似する性質について書きます. あと, 間違ってたらこっそり教えてください