より一般のミンコフスキーの不等式(Minkowski inequality integral form)

前回の記事をもって一段落したので, 時期も時期なので新入生向けのゆるーい記事でも書こうかと思ったのですが, 今日あった関数解析の講義でふと思い出したのでより一般のMinkowskiの不等式について書いておこうと思います. 日本語での記事があまり見受けられなかったので未来の有望な解析学マンに向けて残しておきます. 英語ではタイトルにもあるとおりMinkowski inequality integral formとか呼ばれています. WikiにはMinkowski’s integral inequalityと書かれています(Minkowski inequality - Wikipedia).

Theorem (Minkowski inequality integral form)

$(\Omega_1, \mu_1),\ (\Omega_2,\mu_2)$ を測度空間とし, その直積測度空間を $(\Omega_1 \times \Omega_2, \mu)$ とする.

$1 \le p \lt \infty$ と $\Omega_1 \times \Omega_2$ 上の可測関数 $f(x,y)$ に対して, 次が成り立つ;

\begin{eqnarray}
\left(\int_{\Omega_2} \left\{\int_{\Omega_1} |f(x,y)|\ d\mu_1 \right\}^p\ d\mu_2 \right)^\frac{1}{p}
\le \int_{\Omega_1} \left\{\int_{\Omega_2} |f(x,y)|^p\ d\mu_2 \right\}^\frac{1}{p}\ d\mu_1 .
\end{eqnarray}

Proof.

$p = 1$ の場合はFubiniの定理より明らかなので, $1\lt p \lt \infty$ とする.

$F(y) := \int_{\Omega_1}|f(x,y)|\ d\mu_1$ とすると, $F(y)$ は可測関数である.

$F(y)$ が $\Omega_2$ のほとんど至るところで $0$ であるとするとほとんど至るところで $f(x,y) = 0$ であるから題意は明らかなので, そうでないとすれば,

\begin{eqnarray}
\int_{\Omega_2} F(y)^p\ d\mu_2 &=& \int_{\Omega_2} F(y)^{p-1}\left(\int_{\Omega_1}|f(x,y)|\ d\mu_1 \right)\ d\mu_2 \\
&=& \int_{\Omega_2}\left(\int_{\Omega_1} F(y)^{p-1} |f(x,y)|\ d\mu_1 \right)\ d\mu_2 \\
&=& \int_{\Omega_1} \left(\int_{\Omega_2} F(y)^{p-1}|f(x,y)|\ d\mu_2 \right)\ d\mu_1 \\
&\le& \int_{\Omega_1} \left(\int_{\Omega_2} |f(x,y)|^p\ d\mu_2 \right)^\frac{1}{p} \left(\int_{\Omega_2}F(y)^{q(p-1)}\ d\mu_2 \right)^\frac{1}{q}\ d\mu_1.
\end{eqnarray}

ただし $q$ は $p$ の共役指数( $1/p + 1/q = 1$ ) である.

(※ 2～3行目でFubiniの定理, 3～4行目でHölderの不等式を用いた)

上式の右辺について, $q(p-1) = p$ であることと, $\int_{\Omega_2} F(y)^p\ d\mu_2$ は $x$ について定数である. 従って上式の両辺を $\left(\int_{\Omega_2}F(y)^p\ d\mu_2 \right)^\frac{1}{q}$ で割ると結論を得る. □